高考中的分段函數(shù)

江蘇省海門中學(xué)? 陳燕琴 226100

摘要：分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，能有效考查函數(shù)的概念及性質(zhì),主要是與分段函數(shù)有關(guān)的概念、值域、性質(zhì)，分段函數(shù)與方程、不等式、參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、應(yīng)用等知識。近幾年，高考中對分段函數(shù)的考查也越來越多，分段函數(shù)已經(jīng)成為高考之“寵兒”。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；函數(shù)與方程；不等式

一、考查分段函數(shù)的求值（值域）問題

例1.（1）（2013年福建卷）已知函數(shù)，則-2.

（2）（2013年北京卷）函數(shù)的值域?yàn)?span style="position:relative;top:5.0pt;">

【評注】直接根據(jù)自變量求值（值域）是分段函數(shù)中最常見最基本的題型，解題時(shí)需注意自變量在不同區(qū)間對應(yīng)不同的解析式，選擇分段代值（求值域）。

變式訓(xùn)練1（2012年江蘇卷）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，

其中.若，則的值為??? .

?解析：∵是定義在上且周期為2的函數(shù)，∴，即①。又∵，，∴②。聯(lián)立①②，解得，，

二、考查分段函數(shù)的性質(zhì)

例2.（1）（2012年上海卷）已知函數(shù)（為常數(shù)）。若在區(qū)間

上是增函數(shù)，則的取值范圍是?????

（2）（2013年湖北卷）為實(shí)數(shù),表示不超過的最大整數(shù),則函數(shù)在上為（　　）

A．奇函數(shù)???????????? B.偶函數(shù)????????? C．增函數(shù)???????? D．周期函數(shù)

【解析】（1）令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，而為增函數(shù)，所以要是函數(shù)在單調(diào)遞增，則有，所以的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；畫出簡圖可判斷選項(xiàng)D正確

【評注】分段函數(shù)性質(zhì)也就是對函數(shù)的三大性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性進(jìn)行考查；在處理分段函數(shù)性質(zhì)問題時(shí)，性質(zhì)的定義是根本、分段分類是通法、圖象則是有效的工具。

三、考查分段函數(shù)的不等式問題

例3．（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)，若,則

的取值范圍是________________.

【解析】，由得①

且②.由①可得，；分離參數(shù),可化為恒成立，即,所以；所以綜合①②得

【評注】解與分段函數(shù)相關(guān)的不等式問題，通常要采用分類討論的方法.

四、考查分段函數(shù)的零點(diǎn)（方程）問題

例4（2012年福建卷）對于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，

設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________________.

【解析】由定義，畫圖，若方程有三個(gè)根，則，且當(dāng)時(shí)方程可化為，易知；當(dāng)時(shí)方程可解得，令，且設(shè)，則，可判斷在內(nèi)函數(shù)單減，所以。

【評注】 求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程時(shí)，需要在分段函數(shù)定義域的不同區(qū)間內(nèi)求解方程。

變式訓(xùn)練2（2012年天津卷）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.解析： 或。

分段函數(shù)本身蘊(yùn)含著分類討論與數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法，而解方程、不等式有時(shí)又伴隨著參數(shù)的問題，這也會用到分類討論與數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法。