借我一雙慧眼
——例析2011年與2012年江蘇高考的解析幾何試題
江蘇省海門中學 顧旭東 郵編226100
??? 圓錐曲線的內容在近年江蘇考綱要求中的地位比較特殊，雖說僅僅是B級要求，但由于它在高考的六大題中穩(wěn)居一個席位且區(qū)分度較大，故也被筆者戲稱為是準C級要求的考查對象，而在今年的高考中解析幾何試題已悄然移至倒數(shù)第二題的位置，作為壓軸題的一部分，對此學生感到很不適應。究其原因，讓我們一起來探循命題者的意圖，從而揭開2011和2012兩年解析幾何試題的“廬山真面目”。
命題背景：圓錐曲線中的定點、定值問題是近年高考的重要組成部分，而對考生的運算能力的考查也體現(xiàn)了“三基”的要求，同時通過以下兩題的設置能夠給后續(xù)的教學起到一定的導向引領的作用。
題目：（2011江蘇卷18題）如圖，在平面直角坐標系
中，
分別是橢圓
的頂點，過坐標原
點的直線交橢圓于
兩點，其中
在第一象限，過作
軸的垂線，垂足為
，連接
，并延長交橢圓于點
，設直線
的斜率為
。
（1）當直線平分線
段
，求的值；
（2）當
時，求點到直線
的距離
；[來源:Zxxk.Com]
（3）對任意
，求證：
。??????????????????????????????????
解：（1）、（2）小問略，???????????? ?????????????????????????????????????
（3）證明：取
中點為
，連
，
中，
為中點，
∥，即∥，
，
又
軸，
在
中，
，
即
，
，
另取中點
，連
，易知在
中，∥
，
不妨設
，
，
，
，
，
而
，
，
，
點評：題目雖然已經(jīng)解完，但帶給我們的思考很多，命題者的真正意圖是什么呢？他又想傳遞什么樣的信息呢？讓我們先來看一下本題的源頭在哪里，以下這個結論在高三的復習中經(jīng)常出現(xiàn)。
結論1：已知為橢圓
上關于原點對稱的兩點，則對于橢圓上異于的任一點，恒有
。
當利用上述結論時很快發(fā)現(xiàn)：
，
。
當然我們還可以進一步通過研究得到以下結論2。
結論2：在平面直角坐標系中，過坐標原
點的直線交雙曲線
于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交雙曲線于點，則 
。
??? 再來欣賞今年的壓軸題之一。
題目：（2012江蘇卷19題）如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的左右焦點分別為
已知點
和
都在橢圓上，其中
為橢圓的離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線
與直線
平行，
與
交于點。
①若
求直線的斜率；
②求證：
是定值。
解：（1）略解得橢圓方程為
（2）①由（1）知
又直線
所以可設直線
的方程為
直線
的方程為
設
由
得
解得
故
同理，
即
解得
?所以直線的斜率為
②因為直線所以由三角形相似得
于是
故
?? 由點在橢圓上知
從而
同理
因此，
?
又由
可知
所以
???? 所以原式得證。
點評：該題運算量較大，很難有學生在規(guī)定的時間內找到準確的方法算到最后的結果，那么命題者的真正意圖是什么呢？我們來看一下本題的源頭所在。
結論3.已知橢圓
過焦點
且與橢圓分別交于兩點，則
為定值。
證明：（1）若
的斜率不存在，則
，
（2）若的斜率存在，不妨設為，且令
所以由橢圓的第二定義可知：
又
綜上
（定值）
回過頭來再來看今年的高考試題，那么一切都變得簡單了。
過作
交軸于
∽
，
，
∽
，
，
由以上兩式
，以下只需證明
為定值即可。
又
（其中
為直線與橢圓的另一交點）
（定值），?? 所以原式?jīng)C。
同樣通過研究我們還能進一步發(fā)現(xiàn)以下結論。
結論4. 已知雙曲線
過焦點且與雙曲線（同一支）分別交于兩點，則
（定值）。（證明方法與橢圓一致）
結論5. 已知拋物線
，過焦點且與拋物線分別交于兩點，則
（定值）。（證明略）
結論6.在圓錐曲線中，過焦點且與圓錐曲線（若為雙曲線，則在同一支上）分別交于兩點的直線必滿足為定值。
通過對這兩條高考題的辨析，我有幾點反思與大家共勉。反思（1）我們在平時的講解中有沒有真正給學生予思考的時間與空間，是否只顧埋頭走路，不顧抬頭看天，要清醒的認識到“教師講完了”不一定就是“學生理解了”；反思（2）有沒有真正將題型歸納到底，將問題變化到底，將方法演繹到底；反思（3）有沒有不斷的學習他人的先進經(jīng)驗，通過整合知識來超越自我；反思（4）有沒有將考綱與實際的高考內容聯(lián)系起來，揣摩江蘇命題的方向，以期真正起到事半功倍的效果。題目是無限的，而方法是有限的，面對2013，你開始準備了嗎？
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