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借我一雙慧眼

發(fā)布時(shí)間:2016-10-11

借我一雙慧眼

——例析2011年與2012年江蘇高考的解析幾何試題

江蘇省海門中學(xué) 顧旭東 郵編226100

??? 圓錐曲線的內(nèi)容在近年江蘇考綱要求中的地位比較特殊,雖說僅僅是B級(jí)要求,但由于它在高考的六大題中穩(wěn)居一個(gè)席位且區(qū)分度較大,故也被筆者戲稱為是準(zhǔn)C級(jí)要求的考查對(duì)象,而在今年的高考中解析幾何試題已悄然移至倒數(shù)第二題的位置,作為壓軸題的一部分,對(duì)此學(xué)生感到很不適應(yīng)。究其原因,讓我們一起來探循命題者的意圖,從而揭開2011和2012兩年解析幾何試題的“廬山真面目”。

命題背景:圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是近年高考的重要組成部分,而對(duì)考生的運(yùn)算能力的考查也體現(xiàn)了“三基”的要求,同時(shí)通過以下兩題的設(shè)置能夠給后續(xù)的教學(xué)起到一定的導(dǎo)向引領(lǐng)的作用。

題目:(2011江蘇卷18題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!中,分別是橢圓學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),其中在第一象限,過軸的垂線,垂足為,連接,并延長交橢圓于點(diǎn),設(shè)直線的斜率為。

(1)當(dāng)直線平分線學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!,求學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!值;

(2)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離;[來源:Zxxk.Com]

(3)對(duì)任意,求證:。??????????????????????????????????

解:(1)、(2)小問略,???????????? ?????????????????????????????????????

(3)證明:取中點(diǎn)為,連,

中,中點(diǎn),

,即,

軸,中,,

,,

另取中點(diǎn),連,易知在中,

不妨設(shè),,

,

,

,,

,

點(diǎn)評(píng):題目雖然已經(jīng)解完,但帶給我們的思考很多,命題者的真正意圖是什么呢?他又想傳遞什么樣的信息呢?讓我們先來看一下本題的源頭在哪里,以下這個(gè)結(jié)論在高三的復(fù)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)。

結(jié)論1:已知為橢圓高考資源網(wǎng)(ks5u.com),中國最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),則對(duì)于橢圓上異于的任一點(diǎn),恒有

當(dāng)利用上述結(jié)論時(shí)很快發(fā)現(xiàn):,。

當(dāng)然我們還可以進(jìn)一步通過研究得到以下結(jié)論2。

結(jié)論2:在平面直角坐標(biāo)系學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!中,過坐標(biāo)原學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!點(diǎn)的直線交雙曲線學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)--教育資源門戶,提供試卷、教案、課件、論文、素材及各類教學(xué)資源下載,還有大量而豐富的教學(xué)相關(guān)資訊!兩點(diǎn),其中在第一象限,過軸的垂線,垂足為,連接,并延長交雙曲線于點(diǎn),則 。

??? 再來欣賞今年的壓軸題之一。

題目:(2012江蘇卷19題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為已知點(diǎn)都在橢圓上,其中為橢圓的離心率。

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且直線與直線平行,交于點(diǎn)。

①若求直線的斜率;

②求證:是定值。

解:(1)略解得橢圓方程為

(2)①由(1)知又直線所以可設(shè)直線的方程為直線的方程為設(shè)

解得

同理,

解得?所以直線的斜率為

②因?yàn)橹本€所以由三角形相似得于是

?? 由點(diǎn)在橢圓上知

從而

同理

因此,

?

又由可知

所以???? 所以原式得證。

點(diǎn)評(píng):該題運(yùn)算量較大,很難有學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到準(zhǔn)確的方法算到最后的結(jié)果,那么命題者的真正意圖是什么呢?我們來看一下本題的源頭所在。

結(jié)論3.已知橢圓過焦點(diǎn)且與橢圓分別交于兩點(diǎn),則為定值。

證明:(1)若的斜率不存在,則

,

(2)若的斜率存在,不妨設(shè)為,且令

所以由橢圓的第二定義可知:

綜上(定值)

回過頭來再來看今年的高考試題,那么一切都變得簡單了。

軸于,,

,

由以上兩式,以下只需證明為定值即可。

(其中為直線與橢圓的另一交點(diǎn))

(定值),?? 所以原式?jīng)C。

同樣通過研究我們還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論。

結(jié)論4. 已知雙曲線過焦點(diǎn)且與雙曲線(同一支)分別交于兩點(diǎn),則(定值)。(證明方法與橢圓一致)

結(jié)論5. 已知拋物線,過焦點(diǎn)且與拋物線分別交于兩點(diǎn),則(定值)。(證明略)

結(jié)論6.在圓錐曲線中,過焦點(diǎn)且與圓錐曲線(若為雙曲線,則在同一支上)分別交于兩點(diǎn)的直線必滿足為定值。

通過對(duì)這兩條高考題的辨析,我有幾點(diǎn)反思與大家共勉。反思(1)我們?cè)谄綍r(shí)的講解中有沒有真正給學(xué)生予思考的時(shí)間與空間,是否只顧埋頭走路,不顧抬頭看天,要清醒的認(rèn)識(shí)到“教師講完了”不一定就是“學(xué)生理解了”;反思(2)有沒有真正將題型歸納到底,將問題變化到底,將方法演繹到底;反思(3)有沒有不斷的學(xué)習(xí)他人的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn),通過整合知識(shí)來超越自我;反思(4)有沒有將考綱與實(shí)際的高考內(nèi)容聯(lián)系起來,揣摩江蘇命題的方向,以期真正起到事半功倍的效果。題目是無限的,而方法是有限的,面對(duì)2013,你開始準(zhǔn)備了嗎?

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