借我一雙慧眼

——例析2011年與2012年江蘇高考的解析幾何試題

江蘇省海門中學(xué) 顧旭東 郵編226100

??? 圓錐曲線的內(nèi)容在近年江蘇考綱要求中的地位比較特殊，雖說僅僅是B級(jí)要求，但由于它在高考的六大題中穩(wěn)居一個(gè)席位且區(qū)分度較大，故也被筆者戲稱為是準(zhǔn)C級(jí)要求的考查對(duì)象，而在今年的高考中解析幾何試題已悄然移至倒數(shù)第二題的位置，作為壓軸題的一部分，對(duì)此學(xué)生感到很不適應(yīng)。究其原因，讓我們一起來探循命題者的意圖，從而揭開2011和2012兩年解析幾何試題的“廬山真面目”。

命題背景：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是近年高考的重要組成部分，而對(duì)考生的運(yùn)算能力的考查也體現(xiàn)了“三基”的要求，同時(shí)通過以下兩題的設(shè)置能夠給后續(xù)的教學(xué)起到一定的導(dǎo)向引領(lǐng)的作用。

題目：（2011江蘇卷18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為。

（1）當(dāng)直線平分線段，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；[來源:Zxxk.Com]

（3）對(duì)任意，求證：。??????????????????????????????????

解：（1）、（2）小問略，???????????? ?????????????????????????????????????

（3）證明：取中點(diǎn)為，連，

中，為中點(diǎn)，

∥，即∥，，

又軸，在中，，

即，，

另取中點(diǎn)，連，易知在中，∥，

不妨設(shè)，，

，

，，

而，，

，

點(diǎn)評(píng)：題目雖然已經(jīng)解完，但帶給我們的思考很多，命題者的真正意圖是什么呢？他又想傳遞什么樣的信息呢？讓我們先來看一下本題的源頭在哪里，以下這個(gè)結(jié)論在高三的復(fù)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)。

結(jié)論1：已知為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則對(duì)于橢圓上異于的任一點(diǎn)，恒有。

當(dāng)利用上述結(jié)論時(shí)很快發(fā)現(xiàn)：，。

當(dāng)然我們還可以進(jìn)一步通過研究得到以下結(jié)論2。

結(jié)論2：在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交雙曲線于點(diǎn)，則 。

??? 再來欣賞今年的壓軸題之一。

題目：（2012江蘇卷19題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)。

①若求直線的斜率；

②求證：是定值。

解：（1）略解得橢圓方程為

（2）①由（1）知又直線所以可設(shè)直線的方程為直線的方程為設(shè)

由得解得

故

同理，

即

解得?所以直線的斜率為

②因?yàn)橹本€所以由三角形相似得于是

故?? 由點(diǎn)在橢圓上知

從而

同理

因此，

?

又由可知

所以???? 所以原式得證。

點(diǎn)評(píng)：該題運(yùn)算量較大，很難有學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)找到準(zhǔn)確的方法算到最后的結(jié)果，那么命題者的真正意圖是什么呢？我們來看一下本題的源頭所在。

結(jié)論3.已知橢圓過焦點(diǎn)且與橢圓分別交于兩點(diǎn)，則為定值。

證明：（1）若的斜率不存在，則

，

（2）若的斜率存在，不妨設(shè)為，且令

所以由橢圓的第二定義可知：

又

綜上（定值）

回過頭來再來看今年的高考試題，那么一切都變得簡單了。

過作交軸于∽，，

∽，，

由以上兩式，以下只需證明為定值即可。

又（其中為直線與橢圓的另一交點(diǎn)）

（定值），?? 所以原式?jīng)C。

同樣通過研究我們還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論。

結(jié)論4. 已知雙曲線過焦點(diǎn)且與雙曲線（同一支）分別交于兩點(diǎn)，則（定值）。（證明方法與橢圓一致）

結(jié)論5. 已知拋物線，過焦點(diǎn)且與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則（定值）。（證明略）

結(jié)論6.在圓錐曲線中，過焦點(diǎn)且與圓錐曲線（若為雙曲線，則在同一支上）分別交于兩點(diǎn)的直線必滿足為定值。

通過對(duì)這兩條高考題的辨析，我有幾點(diǎn)反思與大家共勉。反思（1）我們?cè)谄綍r(shí)的講解中有沒有真正給學(xué)生予思考的時(shí)間與空間，是否只顧埋頭走路，不顧抬頭看天，要清醒的認(rèn)識(shí)到“教師講完了”不一定就是“學(xué)生理解了”；反思（2）有沒有真正將題型歸納到底，將問題變化到底，將方法演繹到底；反思（3）有沒有不斷的學(xué)習(xí)他人的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，通過整合知識(shí)來超越自我；反思（4）有沒有將考綱與實(shí)際的高考內(nèi)容聯(lián)系起來，揣摩江蘇命題的方向，以期真正起到事半功倍的效果。題目是無限的，而方法是有限的，面對(duì)2013，你開始準(zhǔn)備了嗎？

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